Lexicon of Arguments


Philosophical and Scientific Issues in Dispute
 


[german]  

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The author or concept searched is found in the following 8 entries.
Disputed term/author/ism Author
Entry
Reference
Consistency Hilbert
 
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Berka I 413
Hilbert/Lecture: "Mathematical Problems (1900) second problem: the second problem is to prove the consistency of the arithmetic axioms. Consistency/Arithmetics/Problem/Schröter: At first, there is no way to see, since a proof by specifying a model is self-banning, since arithmetic is the simplest area on whose consistency all consistency proofs should be returned in other areas. So a new path must be taken.
Consistency proof/Schröter: for the arithmetic axioms: the consistency requires the proof that an arithmetical statement cannot also be used to derive the contradictory negation of this statement from the axioms.
To do this, it suffices to prove the non-derivability of any statement e.g. 0 unequal 0. If this is to be successful, it must be shown that all the deductions from the arithmetic axioms have a certain property which come off the statement that states 0 unequal 0.
---
I 414
Problem: The amount of the consequences is completely unpredictable. Solution/Hilbert: the process of infering (logical inference) has to be formalized itself. With this however, the concluding/infering is deprived of all content.
Problem: now one can no longer say that a theory, e.g. is about the natural numbers.
Formalism/Schröter: after this, mathematics is no longer concerned with objects which refer to a real or an ideal world, but only by certain signs, or their transformations, which are made according to certain rules.
WeylVsHilbert: that would require a reinterpretation of all the mathematics so far.


Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Consistency Bigelow
 
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I 182
Consistency/Bigelow/Pargetter: a way to guarantee that a description is consistent is to show that something meets this description. Definition Principle of instantiation/Bigelow/Pargetter: we can call this the principle of instantiation (instantiation principle).
Contradiction-free/Bigelow/Pargetter: is essential for mathematics, for other areas it is more like housekeeping.
Consistency/Hilbert: precedes existence. A mathematical proof exists only if it is non-contradictory.
Consistency/FregeVsFormalism/FregeVsHilbert/Bigelow/Pargetter: Existence precedes the consistency. Consistency requires the existence of a consistently described thing. If it exists, the corresponding description is consistent. If it does not exist, how do we guarantee consistency?
---
I 183
Frege/Bigelow/Pargetter: thinks here epistemically, in terms of "guarantees". But his view can be extended: if there is no object, there is no difference between a consistent and a contradictory description. Frege/Bigelow/Pargetter: pro Frege: this is the basis for modern mathematics. This is also the reason why quantum theory is so important: it provides examples of everything that mathematicians wish to investigate (at least until recently).

Big I
J. Bigelow, R. Pargetter
Science and Necessity Cambridge 1990

Definitions Frege
 
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III 15
Definition/Frege: you cannot define: "The number one is a thing", because there is a definite on the one side of the equation and an indefinite article on the other.
III 78
Definition/Frege: specifying a mode of operation is not a definition.
III 99
Definition/Object/Introduction/Frege: the way in which an object was introduced is not a property of the object. - The definition of an object only specifies the use of a sign, it says nothing about the object. - ((s) here: introduction of an object in the speech = definition) - Introduction/Frege: after the introduction, the definition turns into a judgment about the object.
I 130
FregeVsFormalism: The F. only gives instructions for definitions - not definitions as such.
III 131
E.g. Number i/Frege: you have to re-explain the meaning of "sum". - FregeVsFormalism/FregeVsHilbert: it is not enough to demand only one meaning.
IV 100ff
Definition/Object/Frege: the definite article must be on both sides here. - Defining an object only specifying the use of a sign. - More interesting are definitions of properties.
IV 100ff
Indefinable/Frege: are truth and identity as a simple basic concepts. - Other AuthorsVs. > truth theories, > theories of meaning.

F I
G. Frege
Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987

F II
G. Frege
Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994

F IV
G. Frege
Logische Untersuchungen Göttingen 1993

Existence Hilbert
 
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Berka I 294
Existence/consistency/concept/Hilbert: If one assigns features to a concept which contradict themself, so I say: the concept does not exist mathematically. FregeVsHilbert/(s): would say the concept can exist, but there is no object for it.
Existence/number/Hilbert: the existence of a concept is proved if it can be shown that there are never contradictions in the application of a finite number of logical conclusions.
This would prove the existence of a number or a function.
---
I 294/295
Real numbers/existence/axioms/Hilbert: here the consistency is a proof for the axioms and it is also the proof for the existence of the continuum.


Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Formalism Frege
 
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I 127
Sign/FregeVsformalism: blank signs are only a blackening of the paper - their use would be a logical error - blank signs don’t solve any task - e.g. x + b = c: if b > c, there is no natural number x, which can be used - to accept the difference (c - b) as an artificial new sign is no solution - sign/Frege: where a solution is possible, it is not the sign that is the solution, but the meaning of the sign.
I 130
FregeVsformalism: only instructions for definitions - not the definition itself.
I 131
E.g. Number i: one has to re-explain the meaning of "sum" - FregeVsHilbert: it is not enough just to call for a sense.

F I
G. Frege
Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987

F II
G. Frege
Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994

F IV
G. Frege
Logische Untersuchungen Göttingen 1993

Formalism Thiel
 
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Thiel I 20
Formalismus/Thiel: Vollzieht sozusagen die "linguistische Wende" in der Mathematik. Es wird jetzt gefragt, was der Gegenstand der Arbeit des Mathematikers sei. Regeln für Handlungen. Symbole werden durch andere ersetzt. Dabei fragt der Formalist nicht nach der "Bedeutung". Mathematik: Lehre von den Formalismen oder formalen Systemen (>Bernays). Neben dieser "kalkültheoretischen Variante" des Formalismus gibt es die "strukturtheoretische" Variante. (>Hilbert). Verschiedene formale System können als von genau demselben mathematischen Objektbereichen gültig gedeutet werden. Wir können dies deren "Beschreibung" durch die formalen Systeme nennen.
- - -
Thiel I 279
Formalismus/Geometrie/Hilbert/Thiel: Hilbert hatte 1899 in seinen Grundlagen der Geometrie Termini wie Punkt, Gerade, Ebene, "zwischen" usw. verwendet, aber deren Sinn auf bis dahin ungewohnte Weise verstanden. Sie sollte nämlich nicht nur die Herleitung der üblichen Sätze ermöglichen, sondern in ihrer Gesamtheit überhaupt erst die Bedeutung der in ihnen verwendeten Termini festlegen.
I 280
Später nannte man dies "Definition durch Postulate", "implizite Definition" >Definition. Die Benennungen Punkt, Gerade usw. sollten allenfalls eine bequeme Hilfe für die mathematische Anschauung sein.
FregeVsHilbert: stellt im Briefwechsel klar, dass dessen Axiome nicht Aussagen sondern Aussageformen seine. >Aussageform.
Er bestritt, dass durch deren Zusammenwirken den in ihnen auftretenden Begriffen eine Bedeutung verliehen werde. Definiert werde vielmehr ein (in Freges Terminologie) "Begriff zweiter Stufe", heute würde man auch sagen eine "Struktur".
HilbertVsFrege: die Pointe des Hilbertschen Vorgehens ist gerade, dass die Bedeutung von "Punkt", "Gerade" usw offengelassen wird.
Frege und Hilbert hätten sich darauf durchaus einigen können, taten es aber nicht.
Axiome/Frege/Thiel: ein Axiom sollte eine im klassischen Sinne einfache, im Sinn völlig klare Aussage am Anfang eines Systems sein.
Axiome/Hilbert: Aussageformen, die zusammengefasst eine Disziplin definieren. Daraus hat sich die "schlampige" Redeweise entwickelt Bsp "Gerade" in der Kugelgeometrie sei eben ein Großkreis.
- - -
Thiel I 342
Intuitionismus und Formalismus werden oft als Alternativen zum Logizismus dargestellt. Die drei differieren so stark, dass ein Vergleich sogar Mühe bereitet.
I 343
Formalismus/Thiel: 1. "älterer" Formalismus: zweite Hälfte 19, Jahrhundert Schöpfer Hankel, Heine, Thomae, Stolz. "formale Arithmetik,", "formale Algebra". "Gegenstand der Arithmetik seien die Zeichen auf dem Papier selbst, so dass die Existenz dieser Zahlen nicht in Frage steht" (naiv). Def "Permanenzprinzip": es war üblich geworden, für hinzukommende Zahlen neue Zeichen einzuführen und dann zu postulieren, dass die von den Zahlen des Ausgangsbereichs geltenden Regeln auch für den erweiterten Bereich gültig sein sollten.
Vs: das müsste solange als illegitim gelten, als die Widerspruchsfreiheit nicht gezeigt sei. Sonst könnte man eine neue Zahl einführen, und
Bsp § + 1 = 2 und § + 2 = 1 einfach postulieren. Dieser Widerspruch würde zeigen dass es die "neuen Zahlen" in Wahrheit gar nicht gibt. Das erklärt die Formulierung von Heine, dass die "Existenz gar nicht in Frage steht".

I 343/'344
Etwas differenzierter behandelte Thomae das Problem als "Spielregeln". FregeVsThomae: dieser habe nicht einmal die Grundbestimmungen seines Spiels, nämlich die Entsprechungen zu den Regeln, Figuren, und Stellungen präzise angegeben.
Diese Kritik Freges war schon ein Vorläufer der Hilbertschen Beweistheorie, in der ja ebenfalls bloße Zeichenreihen unter Absehung von ihren etwaigen Inhalt auf ihre Erzeugung und Umformung nach gegebenen Regeln betrachtet werden.
I 345
HilbertVsVs: Kritiker Hilberts übersehen oft, dass zumindest für Hilbert selbst, der "finite Kern" durchaus inhaltlich gedeutet bleiben sollte und nur die "idealen" nicht finit deutbaren Teile keinen unmittelbar aufweisbaren Inhalt haben. Diese Pointe ist methodischer, nicht philosophischer Art. Für Hilberts Programm ist auch "Formalismus" der am häufigsten gebrauchte Ausdruck. Darüber hinaus geht die Auffassung des Formalismus in einem dritten Sinn: nämlich die Auffassung der Mathematik und Logik als ein System von Handlungsschemata für den Umgang mit von jedem Inhalt freien Figuren.
HilbertVsFrege und Dedekind: die Gegenstände der Zahlentheorie sind die Zeichen selber. Motto: "Am Anfang war das Zeichen."
I 346
Die Bezeichnung Formalismus stammte nicht von Hilbert oder seiner Schule. Brouwer hatte die Gegensätze zwischen seinem Intuitionismus und dem Formalismus der Hilbertschule zu einer Grundsatzentscheidung hochstilisiert. Brouwer: seine Revision des klassischen Mengen und Funktionsbegriffs bringt eine andere "Species Mathematik".
An Stelle der Funktion als Zuordnung von Funktionswerten zu Argumenten der Funktion treten Folgen von Wahlhandlungen eines fiktiven "idealen Mathematikers" der an jeder Stelle des unbegrenzt gedachten Prozesses eine natürliche Zahl wählt, wobei diese Zahl durch die verschiedensten Bestimmungen für die Wahlakte eingeschränkt sein darf, obwohl im einzelnen Fall der Wahlakt nicht voraussagbar ist.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995

Induction Poincaré
 
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Waismann I 70
Induction/Brouwer/Poincaré/Waismann: the power of induction: it is not a conclusion that carries to infinity. The sentence a + b = b + a is not an abbreviation for infinitely many individual equations, as well as 0.333 ... is not an abbreviation, and the inductive proof is not the abbreviation for infinitely many syllogisms (VsPoincaré).
In fact, with the formulation of the formulas we begin

a+b = b+a
a+(b+c) = (a+b)+c

a whole new calculus, which cannot be inferred from the calculations of arithmetic in any way. But:

Principle/Induction/Calculus/Definition/Poincaré/Waismann: ... this is the correct thing in Poincaré's assertion: the principle of induction cannot be proved logically. VsPoincaré: But he does not represent, as he thought, a synthetic judgment a priori; it is not a truth at all, but a determination: If the formula f(x) applies for x = 1, and f(c + 1) follows from f(c), let us say that "the formula f(x) is proved for all natural numbers".
---
A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967

46
Induction/PoincaréVsHilbert: in some of his demonstrations, the principle of induction is used and he asserts that this principle is the expression of an extra-logical view of the human mind. Poincaré concludes that the geometry cannot be derived in a purely logical manner from a group of postulates.
---
46
Induction is continually applied in mathematics, inter alia also in Euclid's proof of the infinity of the prime numbers.
Induction principle/Poincaré: it cannot be a law of logic, for it is quite possible to construct a mathematics in which the principle of induction is denied. Hilbert, too, does not postulate it among his postulates, so he also seems to be of the opinion that it is not a pure postulate.


Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
Signs Frege
 
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II 31
Signs: as long as E.g. the plus sign is used only between integers ("a + b"), it only needs to be explained for this purpose. If other objects are to be linked, E.g. "sun" with something else, the plus sign must be redefined.
II 41
Frege: Sign: Deputy.
II 88
Numeral/Frege: E.g. "2" - saturated - in contrast: functional character - E.g. "sin" (sine) unsaturated.
II 91
Sign/Frege: are the requirements for conceptual thinking - they no longer refer to the individual thing, but to what several things have in common.
I 127
Sign/FregeVsFormalism: empty signs are only black spots on paper - their use would be a logical error. - Empty signs do not solve any task E.g. x + b = c: if b>c, there is no natural number x that can be inserted - nor to accept the difference (c-b) as an artificial new sign. Sign/Frege: and where a solution is possible, the sign is not the solution, but the meaning of the sign.
V 130
FregeVsFormalism: only gives instructions for definitions - no definitions themselves.
III 131
E.g. Number i: the meaning of "total" must be re-explained. - FregeVsHilbert: it is not enough just to call for a sense.

F I
G. Frege
Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987

F II
G. Frege
Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994

F IV
G. Frege
Logische Untersuchungen Göttingen 1993


The author or concept searched is found in the following 13 controversies.
Disputed term/author/ism Author Vs Author
Entry
Reference
Constructivism Verschiedene Vs Constructivism Barrow I 65/66
ConstruCtivism: Gründer Leopold Kronecker: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk." Die Bedeutung einer mathematischen Formel besteht nur in der Kette der Operationen, mit der sie konstruiert ist. Der Konstruktivismus führt einen dritten Status ein: unentschieden! Eine Aussage, die nicht in endlich vielen Schritten entschieden werden kann, kommt in die Rumpelkammer des Unentschieden.
I 67
VsConstruktivism: die Mathematik hatte vor dem Konstruktivismus alle möglichen Beweisverfahren entwickelt, die nicht in einer endlichen Anzahl von Schritten durchführbar sind. Def Reductio ad absurdum/raa: Beweis der annimmt, etwas sei falsch, um seine Unverzichtbarkeit zu beweisen, indem aus gerade der Annahme der Falschheit ein Widerspruch erwächst.
I 68
BrouwerVsHilbert: (Einstein: der "Krieg der Frösche und Mäuse" auch >"Froschmäusekrieg") Hilbert setzte sich durch: Das Gremium der Herausgeber der gemeinsamen Zeitung mathematische Annalen wurde aufgelöst und ohne Brouwer neugegründet.
I 69
Konstruktivismus: merkwürdiger Anthropocentrism: BarrowVsConstructivism: die Idee einer universellen menschlichen Intuition der natürlichen Zahlen lässt sich schon historisch nicht halten (s.o.) Ein Konstruktivist kann auch nicht sagen, ob die Intuition eines Menschen die gleiche ist wie die eines anderen, noch ob eine solche Intuition sich in Zukunft weiter entwickeln wird.




Formalism Frege Vs Formalism
 
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Brandom I 606
FregeVsFormalists: How can evidence be provided that something falls under a concept? Frege uses the concept of necessity to prove the existence of an object.
Brandom I 609
Free Logic: "Pegasus is a winged horse" is regarded as true, although the object does not exist physically. It can serve as substituent. FregeVs. (>Read).
Brandom I 620
Frege: Pegasus has "sense" but no "meaning". FregeVsFormalism: Important argument: it is not enough merely to refer to the Peano axioms, identities such as "1 = successor to the number 0" are trivial. They do not combine two different ways of picking out an object. Solution: Abstraction: it is necessary to connect the use of the expressions of the successor numbers with the already common expressions.
- - -
Frege III 130
Equation/Frege: you must not put the definite article on one side of an equation and the indefinite article on the other. FregeVsFormalism: a purely formal theory is sufficient. It’s only an instruction for the definitions, not a definition as such.
III 131
Number System/Expansion/Frege: in the expansion, the meaning cannot be fixed arbitrarily. E.g. the meaning of the square root is not already unchangeable before the definitions, but it is determined by these. ((s) Contradiction? Anyway, Frege is getting at meaning as use).
Number i/Frege: it does not matter whether a second, a millimeter or something else is to play a role in this.
III 132
It is only important that the additions and multiplication sentences apply. By the way, i falls out of the equation again. But, E.g. with "a ´bi" you have to explain what meaning "total" has in this case. It is not enough to call for a sense. That would be just ink on paper. (FregeVsHilbert).
- - -
Bigelow I 182
Consistency/FregeVsFormalism/FregeVsHilbert/Bigelow/Pargetter: Existence precedes consistency. For consistency presupposes the existence of a consistently described object. If it exists, the corresponding description is consistent. If it does not exist, how can we guarantee consistency? - - -
Frege I125
Concept/Frege: How can you prove that it does not contain a contradiction? Not by the determination of the definition.
I 126
E.g. ledger lines in a triangle: it is not sufficient for proof of their existence that no contradiction is discovered in on their concept. Proof of the disambiguity of a concept can strictly only be carried out by something falling under it. The reverse would be a mistake. E.g. Hankel: equation x + b = c: if b is > c, there is no natural number x which solves the problem.
I 127
Hankel: but nothing keeps us from considering the difference (c - b) as a sign that solves the problem! Sign/FregeVsHankel/FregeVsFormalism: there is something that hinders us: E.g. considering (2 - 3) readily as a sign that solves the problem: an empty sign does not solve the problem, but is only ink on paper. Its use as such would then be a logical error. Even in cases where the solution is possible, it is not the sign that is the solution, but the content. - - -
Wittgenstein I 27
Frege/Earlier Wittgenstein/Hintikka: ((FregeVsFormalism) in the philosophy of logic and mathematics). Frege dispensed with any attempt to attribute a semantic content to his logical axioms and rules of evidence. Likewise, Wittgenstein: "In logical syntax, the meaning of a sign must never play a role, it may only require the description of the expressions." Therefore, it is incorrect to assert that the Tractatus represents the view of the inexpressibility of language par excellence. The inexpressibility of semantics is merely limited to semantics, I 28 syntax can certainly be linguistically expressed! In a letter to Schlick, Wittgenstein makes the accusation that Carnap had taken his ideas, without pointing this out (08.08.32)!

F I
G. Frege
Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987

F II
G. Frege
Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994

F IV
G. Frege
Logische Untersuchungen Göttingen 1993

Bra I
R. Brandom
Expressive Vernunft Frankfurt 2000

Bra II
R. Brandom
Begründen und Begreifen Frankfurt 2001

Big I
J. Bigelow, R. Pargetter
Science and Necessity Cambridge 1990

W II
L. Wittgenstein
Vorlesungen 1930-35 Frankfurt 1989

W III
L. Wittgenstein
Das Blaue Buch - Eine Philosophische Betrachtung Frankfurt 1984

W IV
L. Wittgenstein
Tractatus Logico Philosophicus Frankfurt/M 1960
Frege, G. Waismann Vs Frege, G.
 
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Waismann I 77
Frege: Definition der Zahl in zwei Schritten a) wann sind zwei Mengen gleichzahlig.
b) Definition des Begriffs der "Anzahl": sie ist gleich, wenn jedem Element der einen ein Element der anderen Menge entspricht. Eineindeutige Relation.
Unter
Def "Zahl einer Menge"/Frege: versteht er die Menge aller mit ihr gleichzahligen Mengen. Bsp Die Zahl 5 ist die Gesamtheit aller Fünferklassen in der Welt.
VsFrege: wie sollen wir feststellen dass zwei Mengen gleichzahlig sind? Offenbar durch Aufweisung einer solchen Relation.
Bsp Wenn man dazu etwa Löffel auf Tassen verteilen muss, dann hat die Relation vorher also nicht bestanden.
Solange die Löffel nicht auf den Tassen lagen, waren die Mengen nicht gleichzahlig. Das entspricht aber nicht dem Sinn, in dem man das Wort gleichzahlig verwendet. Also geht es darum, ob man die Löffel an die Tassen legen kann.
Aber was bedeutet "kann"?
I 78
Dass gleich viele Exemplare vorhanden sind. Nicht die Zuordnung bestimmt die Gleichzahligkeit, sondern umgekehrt. Die vorgeschlagene Definition gibt zwar eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Gleichzahligkeit und fasst den Ausdruck "gleichzahlig" zu eng.
Klasse: Liste ("Schulklasse") logisch oder Begriff (Säugetiere) empirisch. Bei zwei Listen ist es weder emopirisch noch logisch zu sagen, sie lassen sich einander zuordnen. Bsp
1.Sind in diesem Zimmer ebenso viele Personen wie im Nebenzimmer? Ein Experiment liefert die Antwort.
2. Sind 3x4 Tassen gleichzahlig mit 12 Löffeln? Man kann das durch Ziehen von Linien beantworten, was kein Experiment ist, sondern ein Vorgang in einem Kalkül.
Nach Frege sind zwei Mengen nicht gleichzahlig, wenn man die Relation nicht herstellt. Man hat zwar etwas definiert, aber nicht den Begriff "gleichzahlig". Man kann die Definition erweitern, indem man davon spricht, dass sie zugeordnet werden können. Aber das ist wieder nicht richtig. Denn sind die beiden Mengen durch ihre Eigenschaften gegeben, so ist es immer sinnvoll, ihr Zugeordnetsein zu behaupten, (das hat aber einen verschiedenen Sinn, je nach dem Kriterium, an dem man die Möglichkeit der Zuordnung erkennt: dass die beiden gleichzahlig sind, oder dass es Sinn haben soll, von einer Zuordnung zu sprechen!
Tatsächlich gebrauchen wir das Wort "gleichzahlig" nach verschiedenen Kriterien: von welchen Frege nur ein einziges hervorhebt und zum Paradigma macht. Bsp
1. Liegen auf dem Tisch 3 Tassen und 3 Löffel, so sieht man auf einen Blick die Zuordenbarkeit.
I 79
2. Ist die Anzahl nicht übersehbar, sie aber in eine übersichtliche Form geordnet, z.B. Quadrat oder Raute, springt wieder die Gleichzahligkeit ins Auge. 3.Anders ist der Fall, wenn wir etwas von zwei Fünfecken feststellen, dass sie dieselbe Anzahl von Diagonalen haben. Hier fassen wir die Gruppierung nicht mehr unmittelbar auf, es ist vielmehr ein Satz der Geometrie.
4. Gleichzahlig bei eineindeutiger Zuordenbarkeit
5.Das normalen Kriterium der Zahlengleichheit ist aber das Zählen, (das nicht als Abbildung zweier Mengen durch eine Beziehung aufgefasst werden darf.)
WaismannVsFrege: Diesen verschiedenen und biegsamen Gebrauch gibt Freges Definition nicht wieder.
I 80
Das führt zu seltsamen Konsequenzen: Nach Frege müssen zwei Mengen notwendig gleichzahlig sein oder nicht und zwar aus logischen Gründen.
Bsp Angenommen, der Sternenhimmel: Jemand sagt: "ich weiß zwar nicht wie viele ich gesehen habe, aber eine bestimmte Anzahl müssen es gewesen sein." Wie unterscheide ich diese Aussage von "Ich habe viele Sterne gesehen". ((Es geht um die Zahl der gesehenen, nicht der vorhandenen Sterne). Wenn ich noch einmal zurück könnte zu der Situation, könnte ich sie nachzählen. Aber das geht nicht.
Es gibt keine Methode, die Anzahl festzustellen, und damit verliert die Zahlangabe ihren Sinn.
Bsp’ Man könnte die Sache aber auch anders sehen: eine kleine Anzahl von Sternen kann man noch zählen, etwa 5. Hier haben wir eine neue Zahlenreihe: 1,2,3,4,5, viele.
Das ist eine Reihe, die manche primitive Völker wirklich gebrauchen. Sie ist durchaus nicht unkomplett. und wir sind nicht im Besitz einer kompletteren, sondern nur eine komplizierteren, neben der die primitive zu recht besteht.
Man kann auch in dieser Reihe addieren und multiplizieren und das in voller Strenge.
Angenommen, die Dinge der Welt würden wie Tropfen an uns verbeischweben, dann wäre diese Zahlenreihe durchaus angemessen.
Bsp Angenommen, wir sollten Dinge zählen, die während des Zählens wieder verschwinden oder andere entstehen. Solche Erfahrungen würde unsere Begriffsbildung in ganz andere Bahnen lenken. Vielleicht würden Worte wie "Viel", "wenig" evtl. verfeinert, an die Stelle unserer Zahlworte treten.
I 80/81
VsFrege: seine Definition geht an alldem vorbei. Nach ihr sind zwei Mengen logisch notwendig gleichzahlig, ohne Wissen, oder sie sind es nicht. Genauso hatte man vor Einstein argumentiert, zwei Ereignisse seine gleichzeitig, unabhängig von Beobachtung. Aber so ist es nicht, sondern der Sinn einer Aussage erschöpft sich in der Art ihrer Verifikation (auch Dummett)
Waismann: man muss also auf das Verfahren zur Feststellung der Gleichzahligkeit achten, und das ist viel komplizierter als Frege meinte.
Frege: zweiter Teil der Zahldefinition:
Def Zahl/Frege: ist eine Klasse von Klassen. ((s) Anderswo: so nicht von Frege! FregeVs!).
Bsp Dem Begriff "Apfel, der auf dem Tisch liegt, kommt die Zahl 3 zu". Oder: die Klasse der auf dem Tisch liegenden Äpfel ist ein Element der Klasse 3.
Das hat den großen Vorzug der Evidenz: dass nämlich die Zahl nicht von den Dingen, sondern von dem Begriff ausgesagt wird.
WaismannVsFrege: Aber wird das dem tatsächlichen Gebrauch der Zahlworte gerecht?
Bsp Im Befehl "3 Äpfel!" hat das Zahlwort gewiss keine andere Bedeutung, aber nach Frege kann dieser Befehl nicht mehr anch dem gleichen Schema gedeutet werden. Es besagt nicht: die Klasse der Äpfel, die zu holen ist, ist Element der Klasse 3.
Denn dies ist eine Aussage, und die kennt unsere Sprache nicht.
WaismannVsFrege: seine Definition knüpft den Zahlbegriff in unnötiger Weise an die Subjekt Prädikat Form unserer Sätze.
Tatsächlich ergibt sie die Bedeutung des Wortes "3" aus der Art seiner Verwendung (Wittgenstein).
RussellVsFrege Bsp Angenommen, es gäbe genau 9 Individuen auf der Welt. Dann könnten wir die Kardinalzahlen von 0 bis 9 definieren, aber die 10, als 9+1 definiert, wäre die Nullklasse.
Folglich werden die 10 und alle folgenden natürlichen Zahlen miteinander identisch sein, sämtlich = 0.
Um das zu vermeiden müsste ein zusätzliches Axiom eingeführt werden, das
Def "Unendlichkeitsaxiom"/Russell: besagt, dass es einen Typus gibt, dem unendlich viele Individuen angehören.
Das stellt eine Aussage über die Welt dar, und von der Wahrheit dieses Axioms hängt nun wesentlich der Aufbau der ganzen Arithmetik ab.
Jedermann wird nun begierig sein zu wissen, ob das Unendlichkeitsaxiom wahr ist. Wir müssen erwidern: wir wissen es nicht.
Es ist so beschaffen, dass es sich jeder Prüfung entzieht. Dann müssen wir aber zugestehen, dass seine Annahme keinen Sinn hat.
I 82
Es hilft auch nichts, dass man das "Unendlichkeitsaxiom" als Bedingung der Mathematik mitführt, denn so gewinnt man nicht die Mathematik, wie sie tatsächlich vorliegt: die Menge der Brüche ist überall dicht, aber nicht:
die Menge der Brüche ist überall dicht, wenn das Unendlichkeitsaxiom zutrifft.
Das wäre eine künstliche Umdeutung, nur dazu ersonnen, die Lehre aufrechtzuerhalten, dass die Zahlen aus wirklichen Klassen in der Welt aufgebaut sind
(VsFrege: aber nur bedingt, denn Frege spricht nicht von Klassen in der Welt).
- - -
Waismann I 85
Der Irrtum der Logik war, dass sie glaubte, die Arithmetik fest untermauert zu haben. Frege: "Die Grundsteine, in einem ewigen Grund befestigt, sind von unserem Denken zwar überflutbar, aber nicht verrückbar." WaismannVsFrege: allein der Ausdruck die Arithmetik "begründen" gibt uns ein falsches Bild,
I 86
als ob ihr Gebäude auf Grundwahrheiten errichtet sei, während sie ein Kalkül ist, der nur von gewissen Festsetzungen ausgeht, frei schwebend, wie das Sonnensystem, das auf nichts ruht. Wir können die Arithmetik nur beschreiben, d.h. ihre Regelln angeben, nicht begründen.
- - -
Waismann I 163
Die einzelnen Zahlbegriffe bilden eine Familie. Es gibt Familienähnlichkeiten. Frage: werden sie erfunden oder entdeckt? Wir lehnen die Auffassung ab, dass die Regeln aus der Bedeutung der Zeichen folgen. Betrachten wir Freges Argumente. (WaismannVsFrege)
II 164
1.Man kann Arithmetik als ein Spiel mit Zeichen ansehen, aber dann geht der eigentliche Sinn des ganzen verloren. Wenn ich Rechenregeln aufstelle, habe ich dann den "Sinn" des "=" mitgeteilt? Oder nur eine mechanische Anweisung zum Gebrauch des Zeichens gegeben? Doch wohl das letztere. Dann geht aber das Wichtigste der Arithmetik verloren, der Sinn, der sich in den Zeichen ausspricht. (VsHilbert)
Waismann: Gesetzt, es sei so, warum beschreiben wir dann nicht lieber gleich den geistigen Vorgang?
Ich werde aber mit einer Zeichenerklärung antworten und nicht mit einer Schilderung meines geistigen Zustands, wenn man mich fragt, was 1+ 1 = 2 bedeutet.
Wenn man sagt, ich weiß doch, was das Gleichheitszeichen bedeutet, z.B. in Addition, Quadratischen Gleichungen, usw. dann hat man mehrere Antworten gegeben.
Der berechtigte Kern von Freges Kritik: wenn man nur die formelhafte Seite der Arithmetik betrachtet und die Anwendung außer acht lässt, erhält man ein bloßes Spiel. Aber was hier fehlt, ist nicht der Vorgang des Verstehens, sondern die Deutung!
I 165
Bsp Wenn ich ein Kind außer den Formeln auch noch die Übersetzungen in die Wortsprache lehre, macht es dann bloß mechanischen Gebrauch? Sicher nicht. 2. Argument: Es ist also die Anwendung, die die Arithmetik von einem bloßen Spiel unterscheidet. Frege: "Ohne einen Gedankeninhalt wird auch eine Anwendung nicht möglich sein. WaismannVsFrege: Angenommen, man erfände ein Spiel, das genauso aussieht wie die Arithmetik, aber nur zum Vergnügen dient. Würde es keinen Gedanken mehr ausdrücken?
Warum kann man von einer Schachstellung keine Anwendung machen? Weil sie keine Gedanken ausdrückt."
WaismannVsFrege: Angenommen, man erfände ein Spiel, das genauso aussieht wie die Arithmetik, aber nur zum Vergnügen dient. Würde es keinen Gedanken mehr ausdrücken?
Schach: es ist voreilig zu sagen, dass eine Schachstellung keine Gedanken ausdrückt. Waismann bringt. Bsp Figuren stehen für Truppen. Das könnte aber gerade bedeuten, Die Figuren müssten erst zu Zeichen von etwas gemacht werden.
I 166
Erst wenn man bewiesen hat, dass es einen und nur einen Gegenstand von der Eigenschaft gibt, ist man berechtigt, ihn mit dem Eigennamen "Null" zu belegen. Die Null zu schaffen, ist unmöglich. >Zeichen. Ein Zeichen muss etwas bezeichnen, sonst ist es nur Druckerschwärze.
WaismannVsFrege: wir wollen das letztere weder bestreiten noch zugeben. Bloß welcher Sinn kommt dieser Behauptung zu? Dass Zahlen nicht dasselbe wie Zeichen sind die wir aufs Papier schreiben, ist klar. Sie werden erst durch den Gebrauch zu dem, was sie sind. Frege meint aber vielmehr: dass die Zahlen vorher schon irgendwie da sind, dass die Entdeckung der imaginären Zahlen ähnlich wie die eines fernen Erdteiles ist.
I 167
Bedeutung/Frege: um nicht Tintenkleckse zu sein, müssen die Zeichen eine Bedeutung haben. Und die existiert dann unabhängig von den Zeichen. WaismannVsFrege: die Bedeutung ist der Gebrauch, und über den gebieten wir.

Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
Hilbert, D. Deutsch Vs Hilbert, D.
 
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I 236
Hilbert: "Über das Unendliche": spottete über den Gedanken, dass die Forderung nach der"endlichen Anzahl von Schritten" wesentlich ist. DeutschVsHilbert: aber er irrte sich. DeutschVsGödel: Zumindest eine von Gödels Einsichten in Beweise stellte sich als fehlerhaft heraus.
I 237
Diesem Gedanken zufolge ist ein Beweis etwas besonderes, eine Reihe von Aussagen, die Beweisregeln gehorchen. Wir haben schon gesehen, dass ein Beweis besser nicht als ein Ding, sondern als ein Vorgang (Programm) gesehen werden sollte. Eine Art von Berechnung. Im klassischen Fall ist also die Umwandlung von Beweisvorgängen in Beweisdinge immer durchführbar. Wenn wir aber eine klassisch nicht auszuführende mathematische Berechnung, die ein Quantencomputer leicht machen kann betrachten: hier gibt es keine Möglichkeit all das aufzuzeichnen, was im Beweisprozess abläuft, weil das Meiste in anderen Universen passiert. Auf diese Weise kann man keinen Beweis alter Art führen.

Deu I
D. Deutsch
Die Physik der Welterkenntnis München 2000
Hilbert, D. Frege Vs Hilbert, D.
 
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Berka I 294
Consistency/Geometry/Hilbert: Proof through analogous relations between numbers. Concepts: if properties contradict each other, the concept does not exist. FregeVsHilbert: there is just nothing that falls under it. Real Numbers/Hilbert: here, the proof of consistency for the axioms is also the proof of existence of the continuum.

Thiel I 279
Hilbert: Used concepts like point, line, plane, "between", etc. in his Foundations of Geometry in 1899, but understood their sense in a hitherto unfamiliar way. They should not only enable the derivation of the usual sentences, but rather, in its entirety, specify the meaning of the concepts used in it in the first place!
I 280
Later this was called a "definition by postulates", "implicit definition" >Definition. The designations point, line, etc. were to be nothing more than a convenient aid for mathematical considerations.
FregeVsHilbert: clarifies the letter correspondence that his axioms are not statements, but rather statement forms. >Statement Form.
He denied that by their interaction the concepts occurring in them might be given a meaning. It was rather a (in Frege’s terminology) "second stage concept" that was defined, today we would say a "structure".
HilbertVsFrege: the point of the Hilbert’s proceeding is just that the meaning of "point", "line", etc. is left open.
Frege and Hilbert might well have been able to agree on this, but they did not.
Frege: Axiom should be in the classical sense a simple, sense-wise completely clear statement at the beginning of a system.
Hilbert: statement forms that combined define a discipline. From this the "sloppy" figure of speech developed E.g. "straight" in spherical geometry was then a great circle.
- - -
I 343
Formalism: 1) "older" formalism: second half of the 19th century, creators Hankel, Heine, Thomae, Stolz. "Formal arithmetic", "formal algebra". "Object of arithmetic are the signs on the paper itself, so that the existence of these numbers is not in question" (naive). Def "Permanence Principle": it had become customary to introduce new signs for numbers that had been added and to postulate then that the rules that applied to the numbers of the original are should also be valid for the extended area.
Vs: that would have to be regarded as illegitimate as long as the consistency is not shown. Otherwise, you could introduce a new number, and
E.g. simply postulate § + 1 = 2 und § + 2 = 1. This contradiction would show that these "new numbers" did not really exist. This explains Heine’s formulation that "existence is not in question". (> "tonk").
I 343/344
Thomae treated the problem as "rules of the game" in a somewhat more differentiated way. FregeVsThomae: he had not even precisely specified the basic rules of his game, namely the correlation to the rules, pieces and positions.
This criticism of Frege was already a precursor of Hilbert’S proof theory, in which also mere character strings are considered without regard their possible content for their production and transformation according to the given rules.
I 345
HilbertVsVs: Hilbert critics often overlook that, at least for Hilbert himself, the "finite core" should remain content-wise interpreted and only the "ideal", not finitely interpretable parts have no directly provable content. This important argument is of a methodical, not a philosophical nature. "Formalism" is the most commonly used expression for Hilbert’s program. Beyond that, the conception of formalism is also possible in a third sense: i.e. the conception of mathematics and logic as a system of action schemes for dealing with figures that are free of any content.
HilbertVsFrege and Dedekind: the objects of the number theory are the signs themselves. Motto: "In the beginning was the sign."
I 346
The designation formalism did not come from Hilbert or his school. Brouwer had hyped up the contrasts between his intuitionism and the formalism of Hilbert’s school to a landmark decision.

F I
G. Frege
Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987

F IV
G. Frege
Logische Untersuchungen Göttingen 1993

Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Hilbert, D. Quine Vs Hilbert, D.
 
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Willard V. O. Quine
IX 187
Notation/Set Theory/Terminology/Hilbert/Ackermann: (1938, 1949): still lean to the old theory of Russell's statements functions (AF): for classes and relations: "F", "G", etc. with repressible indices, in stead of "x ε a" and "xRy" (Russell: "φx" and "ψ(x,y)" Hilbert "F(x)" and "G(x,y)".
Quine: the similarity is misleading: The values ​​of "F", "G", etc. are not AF, but classes and extensional relations and so for the only criterion that those are identical with the same extension.
QuineVsHilbert: disadvantage that the attention is drawn away from essential differences between ML and logic.
IX 188
It encourages us (incorrectly) to just consider the theory of classes and relations as a continuation of the QL, in which the thus far schematic predicate letters are re-registered in quantifiers and other places which were previously reserved for "x", "y" I.e. "F", "EG", "H(F,G)".
The existence assumptions become too inconspicuous, although they are far-reaching! Just implicitly by quantification.
Therefore every comprehension assertion, e.g.
EF∀x(FX >> ... x ...)
by such insertions simply follows from
"G EF ∀x (Fx Gx)
which in turn follows from "∀x(Gx Gx)".
This had escaped Hilbert and Ackermann, they also took on comprehension axioms, they realized that they could have taken a primitive concept of abstraction instead (like Russell).
Predicate Calculus/Functions Calculus/Church/Quine: (nth order): type theory breaking of after n types, fusion of set theory and logic (QuineVs).
E.g. PK 2nd Stage: Theory of individuals and classes of individuals.
It was simply seen as a QL where predicate letters are approved quantifiers.
The actual QL then became a first stage PK.
This trend also contained an erroneous distinction between TT and ML, as if one did not contain as good as assumptions about the other.
On the other, hand he nourished the idea that the Ql itself already contained a theory of classes or attributes and relations in its "F" and "G".
QuineVs: the vital distinction between schematic letters and quantifiable variables is neglected.
X 96
Logic 2nd Stage/Hilbert's Successor/Quine: "higher-level PK": the values ​​of these variables are in fact sets. This type of introduction makes them deceptively similar to logic. But it is wrong that only a few quantifiers are applied to existing predicate letters. E.g. the hypothesis "(Ey)(x)((x ε y) Fx)": here the existence of a set is asserted: {x:Fx}.
This must be restricted to avoid antinomies.
QuineVsHilbert: in the so-called higher order PK this assumption moves out of sight. The assumption is:
"(EG) (x) (Gx Fx)" and follows from the purely logical triviality (x)(Fx Fx)"
As long as we keep the scope of the values ​​of "x" and "G" apart there is no risk of an antinomy.
Nevertheless, a large piece of set theory has crept in unnoticed.
- - -
XI 136
Mathematics/QuineVsHilbert/Lauener: more than mere syntax. Quine reluctantly professes Platonism.

Q I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Q II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Q III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Q IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Q V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Q VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Q VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Q VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg), München 1982

Q X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Q XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003
Hilbert, D. Tarski Vs Hilbert, D.
 
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Horwich I 127
Wahrheit/Philosophie/Mathematik/HilbertVsTarski: (einziger „philosophischer“ Einwand überhaupt, von einem Mathematiker!): die W Def hätte nichts mit dem „philosophischen Problem „ zu tun. Das sollte aber keine Kritik sein. Begriff/TarskiVsHilbert: ich habe nie verstanden, was das „Wesentliche“ an einem Begriff sein soll. ((s) >Frege: Begriffe haben Merkmale, die man als notwendig ansehen kann, da es sonst ein anderer Begriff ist, im Gegensatz zu Gegenständen, die sich auch als etwas anderes herausstellen können, aber immer noch der betrachtete Gegenstand sind.)
Wahrheit/Tarski: ich glaube, hier gibt es gar kein „philosophisches Problem“.

Tarsk I
A. Tarski
Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983
Hilbert, D. Wittgenstein Vs Hilbert, D.
 
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VI 120
Mathematics/WittgensteinVsHilbert/Schulte: the demand for consistency disturbs the peace. ---
VI 121
Instead: "verificationist" approach (intuitionism). Search and find. Search: in mathematics, unlike the material object. (> Waismann).
      The calculus shows me, where I have to look.
Only the method teaches for what one actually asked.
"The sense of a proposition is the method of its verification."
---
VI 122
Contradiction/WittgensteinVsHilbert/Schulte: if one is searching for a contradiction, one actually does not know for what one is looking for. Because the question is not connected with any known technique. Where no verification process is known, our statements have no meaning. Contradiction: misconception, as if the contradiction was hidden from the very beginning in the axioms, such as tuberculosis.
No "hidden contradiction".

W II
L. Wittgenstein
Vorlesungen 1930-35 Frankfurt 1989

W IV
L. Wittgenstein
Tractatus Logico Philosophicus Frankfurt/M 1960
Hilbert, D. Verschiedene Vs Hilbert, D. Berka I 414
Problem: die Menge der Folgerungen ist völlig unabsehbar. Lösung/Hilbert: der Prozeß des Folgens (logische Folgerung) muß selbst formalisiert werden. Damit wird das Schließen allerdings jeglichen Inhalts entkleidet.
Problem: jetzt kann man nicht mehr sagen, daß eine Theorie z.B. von den natürlichen Zahlen handelt.
Formalismus/Schröter: danach handelt die Mathematik überhaupt nicht mehr von Gegenständen, die sich auf eine reale oder eine ideale Welt beziehen, sondern nur noch von gewissen Zeichen, bzw. deren Umformungen, die nach gewissen Regeln vorgenommen werden.
WeylVsHilbert: das mache eine Umdeutung der gesamten bisherigen Mathematik nötig.

Klaus von Heusinger, Eselssätze und ihre Pferdefüsse
Uni Konstanz Fachgruppe Sprachwissenschaft Arbeitspapier 64; 1994
Heusinger I 29
Eselssätze/Epsilonanalyse/Heusinger: These: daß bestimmte und unbestimmte Nominalphrasen kontextabhängig sind – I 30 Der Epsilonoperator EO repräsentiert NP und Anapher als kontextabhängige Auswahlfunktion – klassisch: von Hilbert.
VsHilbert: zu unflexibel – modifiziert: stellt den Fortschritt von Information dar – modifizierter EO: wählt in einer bestimmten Situation ein bestimmtes Objekt.
I 36
modifizierter Epsilonoperator/Situation//Egli/Heusinger: (Egli 1991, Heusinger 1992,1993), Van der Does 1993) der Epsilonoperator erhält eine Parameter für die Situation. Auswahlfunktion/VsHilbert/Heusinger: Problem: das Auswahlprinzip besagt nicht, welches Element ausgewählt wird. ((s) es heißt nur hinterher: „das ausgewählte Element“).
Problem: bei einem geordneten Bereich wie den Zahlen kann das die kleinste sein. Bei deine sprachlich angegebenen Bereich fehlt eine solche Ordnung.
Ordnung/Sprache/sprachlich/Lewis:: Lösung: Def „Salienzhierarchie“/Lewis: (Lewis 1979) (s): kontextuelle oder situative Gliederung eines sprachlich angegebenen Bereichs. (salient. = hervorstechend).
Auswahlfunktion/Heusinger: wir müssen also von einer ganzen Familie von Auswahlfunktionen ausgehen. D.h. nicht von einer Auswahlfunktion, die durch das Modell M festgelegt wurde.
Salienzhierarchie/Epsilonoperator/Egli/Heusinger: die Salienzhierarchie wird durch modifizierte Epsilonausdrücke repräsentiert.
Index i/Schreibweise/Heusinger: repräsentiert hier die jeweilige Auswahlfunktion: Bsp eix Fx referiert auf das im Kontext i salienteste (hervorstechendste) Objekt, das die Eigenschaft F hat.
Eindeutigkeit/Einzigkeit/Situation/Heusinger: durch den modifizierten Epsilonoperator wird also immer ein bestimmtes Objekt angegeben.
Kontext/Eindeutigkeit/Heusinger: in wechselnden Kontexten können durchaus verschiedene Objekte ausgewählt werden.
Lösung/Heusinger: 1. der Individuenbereich eines Modells M muß um den Bereich der Indizes I erweitert werden.
2. Das Modell M selbst wird um die Funktion F erweitert.





Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Hilbert, D. Poincaré Vs Hilbert, D.
 
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A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik in Kursbuch IV S 46 Frankfurt 1967

PoincaréVsHilbert: in some of his demonstrations, the principle of induction is used, and it is claimed that this principle is the expression of an extra-logical perspective of the human mind. Poincaré concludes that geometry cannot be derived in a purely logical way from a group of postulates. (>Induction)
Induction is applied continually in mathematics, among others even in Euclid's proof of the infinity of primes.
Induction Principle/Poincaré: this cannot be a law of logic, since it is quite possible to construct a mathematics in which the induction principle is denied. Even Hilbert does not mention it among his postulates, he therefore also appears to be of the opinion that it is not a pure postulate!
Russell, B. Turing Vs Russell, B.
 
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Turing: bearbeitete die Frage, ob solche unentscheidbaren Behauptungen zu isolieren seien, oderob die die gesamte Mathematik "durchwachsen", (DB).
Er fand heraus, daß man keine Maschine bauen kann, die unfehlbar unentscheidbare Sätze erkennen kann. (Grund: Gödel).
Universale Turingmaschine: könnte ununterscheidbar von anderen Maschinen agieren.
TuringVsHilbert,VsRussell: AG es gäbe eine solche universale Turingmaschine, dann führt sie zu einem Widerspruch mit sich selbst.
Diese universelle Maschine könnte die symbolische Nummer jeder anderen Maschine akzeptieren und sie simulieren. Problem: was macht sie mit ihrer eigenen Nummer? Widerspruch.
Das ist der Grund, warum sich unentscheidbare Probleme durch die ganze Mathematik ziehen, und nicht isolierbar sind.
Kann auch auf Menschen angewendet werden: Bsp "Werden Sie auf diese Frage mit "Nein" antworten?". Das zeigt: ganz gleich, wie bewußt man sich seines eigenen Geistes ist, seine eigene Komplexität kann man nicht völlig einkalkulieren, wenn man sich gegenseitig zu verstehen versucht.
So können auch Maschinen ihr eigenes Verhalten nicht vorhersagen (In solchen Fällen). II 522/523
Tarski, A. Hilbert Vs Tarski, A.
 
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Horwich I 127
Wahrheit/Philosophie/Mathematik/HilbertVsTarski: (einziger „philosophischer“ Einwand überhaupt, von einem Mathematiker!): die W Def hätte nichts mit dem „philosophischen Problem „ zu tun. Das sollte aber keine Kritik sein. Begriff/TarskiVsHilbert: ich habe nie verstanden, was das „Wesentliche“ an einem Begriff sein soll. ((s) >Frege: Begriffe haben Merkmale, die man als notwendig ansehen kann, da es sonst ein anderer Begriff ist, im Gegensatz zu Gegenständen, die sich auch als etwas anderes herausstellen können, aber immer noch der „betrachtete Gegenstand“ sind.)
Wahrheit/Tarski: ich glaube, hier gibt es gar kein „philosophisches Problem“.
Various Authors Deutsch Vs Various Authors
 
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DeutschVsinduction.
I 36
Deutsch: induction needs no understanding, you could just explore all the character strings sequentially and randomly find a proper proof. ((s) but not randomly recognize it as correct! In addition, the evidence would not just happen to be right.)   Deutsch: Hilbert’s rules could tell us almost nothing about reality. They would all be predicted, but not explained. Just like the "theory of everything". (DeutschVsTOE)
I 220
Hilbert: "On the Infinite": scoffed at the idea that the demand for a "finite number of steps" was essential. DeutschVsHilbert: he was wrong. I 236 What is a "step" and what is "finite"?

Deu I
D. Deutsch
Die Physik der Welterkenntnis München 2000

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Disputed term/author/ism Pro/Versus
Entry
Reference
Platonism Pro Quine Lauener XI 136
Platonism: Quine reluctantly, but QuineVsFormalism/QuineVsHilbert

Q XI
H. Lauener
Willard Van Orman Quine München 1982
Formalism Versus Quine Lauener XI 136
Platonism: Quine reluctantly, but QuineVsFormalism/QuineVsHilbert

Q XI
H. Lauener
Willard Van Orman Quine München 1982