Philosophy Lexicon of Arguments

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Infinitesimal calculus: Infinitesimals are assumed infinitely small sections of a change which can be treated with the method of infinitesimal calculus. The length of the sections, e.g. represent a side of a surface to be calculated, approaches zero and can be omitted at the end. Today, a limit of this development is assumed instead. See also differential calculus, integral calculus, infinity, completeness, movement, change.

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Annotation: The above characterizations of concepts are neither definitions nor exhausting presentations of problems related to them. Instead, they are intended to give a short introduction to the contributions below. – Lexicon of Arguments.

 
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Thiel I 171
Infinitesimalrechnung/Vorgeschichte/Thiel:
Cavallieri (gest 1647, Schüler Galileis) Lehre von den
Def "Indivisibilien"/Cavalieri: Solche "Unteilbare" sind bei Strecken die Punkte, bei Flächen die Schnittgeraden und bei Körpern die Schnittebenen, die nicht als Teile derselben aufgefasst werden dürfen, da sie jeweils eine Dimension weniger haben, können sie nicht deren Bausteine sein!
Die fehlende Dimension kommt erst durch die Richtung der Bewegung hinzu. Durch ihre Bewegung kann man sich die entsprechenden Gebilde (z.B. Schnittebene Körper) erzeugt vorstellen.
Die "Indivisibilien" sind die Vorläufer der "unendlich kleinen Größen", die Leibniz, Newton und L'Hopital auf je unterschiedliche Weise eingeführt haben. >Differentialrechnung.
Thiel I 174
Infinitesimalrechnung: Für die infinitesimale Betrachtungsweise verschwindet der Unterschied, wenn die Basis zu dx "unendlich klein" wird. Kein Zweifel, das ist eine Mogelei.
Eine strenge Begründung solcher Flächenbetrachtungen durch korrekte Infinitesimalbetrachtungen, geht nicht von fiktiven unendlich kleinen Basen dx aus, sondern von einer Einteilung der gesamten Flächenbasis in sehr kleine, aber endliche Strecken Dx.
I 175/176
Leibniz: eine Strecke wird durch Hinzufügen von dx nicht verlängert. Er durchschaute das als Fiktion, rechtfertigte sie aber eher durch Analogien als sie zu eliminieren.
Cantor rechnete sich als Verdienst an, die Vorstellung von den "unendlich kleinen Größen" endgültig widerlegt zu haben. Seine Überlegungen zeigen freilich nicht ganz, was sie zeigen sollten.
Def "unendlich klein": bedeutet, dass das Produkt einer Größe a mit dieser Eigenschaft und einer Grundzahl n, sei diese auch noch so groß, nicht größer als irgendeine vorgegebene Zahl x werden kann.
Tatsächlich zeigt das nur, dass ein Bereich, in dem unendlich kleine Größen dieser Art vorkommen, kein "stetiger" Bereich sein kann, aber nicht, dass solche (heute als "nicht archimedisch" bezeichneten) Bereiche widerspruchsvoll wären.
I 176/177
Solche "nicht archimedischen" Bereiche haben nach Meinung einiger heutiger Autoren zur nachträglichen Rechtfertigung der "unendlich kleinen Größen" geführt.
Ende des 19. Jahrhunderts hatte man es als Fortschritt angesehen, dass durch die skizzierte "Arithmetisierung der Analysis" sich Aussagen über "unendlich kleine Größen" als Aussagen verstehen ließen, die gültig bleiben, wie klein man auch ihre Größe wählen mag, ohne dass man also gezwungen wäre, Entitäten anzunehmen, die unendlich klein und dennoch Größen waren, oder unendlich klein werden. (Später auch >"Nichtstandard Methoden").


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T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995


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Ed. Martin Schulz, access date 2017-10-19