Philosophy Lexicon of Arguments

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2nd order Logic: Predicate logic of the 2nd order goes beyond predicate logic of the 1st level allowing quantification over properties and relations, and not just objects. Thus comparisons of the powerfulness of sets become possible. Problems which are expressed in everyday terms with terms such as "greater", "between", etc., and e.g. the specification of all the properties of an object require predicate logic of the 2nd order. Since the 2nd level logic is not complete (because there are, for example, an infinite number of properties of properties), one often tries to get on with the logic of the 1st order.
 
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Logik 2 Stufe/Bigelow/Pargetter: hat viele faszinierende aber auch verblüffende Eigenschaften: wir erwähnen nur eine: Bsp wir können das Identitätsprädikat damit definieren, ohne dass wir einen weiteren Grundbegriff mit Axiomen einführen, einfach durch eine Abkürzung, dazu brauchen wir das Leibnizsche Gesetz:
(x)(y) ((x = y) ⇔ (ψ)(ψx äqui ψy)).
Zwei Dinge sind identisch, gdw. alles was das eine ist, auch auf das andere zutrifft.
Logik 2. Stufe: das Problem ist semantischer, nicht syntaktischer Natur.
Frage: welche Sprache sollen wir für unsere semantische Theorie wählen?
I 161
Standard-Lösung: rahmt eine semantische Theorie für Logik 2. Stufe innerhalb einer Logik 1. Stufe. D.h. die Metasprache beinhaltet Quantoren 1. Stufe und ein Prädikat des Enthaltenseins in einer Menge (mit Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengelehre).
Pointe: dann wird die Logik 2. Stufe äquivalent mit einem Fragment der Mengenlehre. Bsp um einen Satz wie
(Eψ) (ψa)
Alltagssprachliche Übersetzung: „Es gibt etwas, das a ist“ – „Es ist irgendwie, wie a ist“ (There is somehow that a is“).
Das behauptet tatsächlich, dass
(Ey)(a ε y)
Alltagssprachliche Übersetzung: “Es gibt eine Menge, zu der a gehört”.
Das ist auch Logik 2. Stufe.
Die Semantik dafür geht wie folgt: für jedes Prädikat schreiben wir eine Menge zu. So ist ein einfacher Satz
Fa
Wahr, wenn der Referent von a ein Element der Menge ist, die F entspricht.
Wenn F durch eine Variable  ersetzt wird, wird diese Variable über alle Mengen gehen, das ein Prädikat wie F referieren könnte. Daher wird
(Eψ)(ψ a)
wahr gdw. es eine Menge gibt, zu der a gehört.
Leibniz Gesetz/Identität/Bigelow/Pargetter: kann man dann umformulieren:
Zwei Dinge sind identisch gdw. sie zu genau denselben Mengen gehören.
Bigelow/Pargetter: Problem: das sollte nicht als Definition von Identität genommen werden, denn bei der Definition von Mengen wurde schon der Begriff der Identität gebraucht (zirkulär).
Lösung: man könnte die Bedenken der Zirkularität ausräumen, indem man darauf hinweist, dass Identität in einer Sprache definiert wurde, während Mengenlehre in einer Metasprache gebraucht wird.
I 162
Zirkel/Bigelow/Pargetter: dennoch ist die Zirkularität nicht harmlos.
Logik 2. Stufe/Bigelow/Pargetter: sollte man nicht bloß als notationale Variante der Mengenlehre behandeln. Bsp die Behauptung, dass x eine Menge ist:
Menge (x)
Dann können wir Logik 2. Stufe gebrauchen, um zu behaupten, dass alle Mengen etwas Gemeinsames haben, das es irgendetwas gibt, was alle Mengen sind:
(Eψ)(x)(Menge (x) ψx)
Das ist auch insofern wahr, als „eine Menge sein“ tatsächlich „etwas“ ist, das sie alle sind.
Problem: das kann man gar nicht mengentheoretisch interpretieren, denn sonst erhalten wir ein Paradox:
Es gibt eine Menge, die alle Mengen enthält.
Cantor: zeigte, dass das falsch ist. Es gibt keine Menge aller Menge, keine Allmenge.
Logik 2. Stufe/Bigelow/Pargetter: das ist der Grund, warum sie nicht mit Mengenlehre verbunden werden darf. ((s) Obwohl alle Mengen etwas Gemeinsames haben, darf dies keine Menge sein, obwohl sonst alle Eigenschaften als Mengen betrachtet werden können).
Lösung/Bigelow/Pargetter: unsere Semantik für eine Logik 2. Stufe muss eine Semantik in einer Sprache 2. Stufe sein, nicht eine Semantik in einer Sprache 1. Stufe.
Universalien/Bigelow/Pargetter: uns geht es aber hier nur um die Verbindung von Universalien mit ihren Instanzen.
Universale/Bigelow/Pargetter: kann mit einem Name denotiert (referiert) werden und über sie kann mit Quantoren 1. Stufe quantifiziert werden.
offener Satz/Prädikat/Bigelow/Pargetter: nicht jeder offene Satz korrespondiert einem Universale Bsp man kann nicht von
Es gibt irgendetwas, wie diese Dinge sind (that these things are)
(Eψ)(ψx1 u ψx2 u …
ohne Zusatzprämissen schließen auf
I 163
Es gibt etwas, das diese Dinge gemeinsam haben
(Ez)(x1 instantiiert z u x2 instantiiert z u ….)
Universalien/Bigelow/Pargetter: das identifiziert Universalien als „Rekurrenz“ (s.o. recurrence). ((s) als an verschiedenen Dingen „Wiederkehrendes“).
Existenz 2. Stufe/Bigelow/Pargetter: von „etwas“ das Dinge „sind“ (that things are“/(s) wie Dinge sind) sichert nicht die Existenz 1. Stufe von etwas, das irgendwie zu all diesen Dingen steht.
Semantik/Bigelow/Pargetter: das zeigt, dass die primären Argumente für Universalien nicht semantisch sind. ((s) Weil sie keine gegenständlichen Wahrmacher sind).

Big I
J. Bigelow, R. Pargetter
Science and Necessity Cambridge 1990


> Counter arguments against Bigelow



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Ed. Martin Schulz, access date 2017-05-27