Philosophy Lexicon of Arguments

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Axiom: principle or rule for linking elements of a theory that is not proven within the theory. It is assumed that axioms are true and evident. Adding or eliminating axioms turns a system into another system. Accordingly, more or less statements can be constructed or derived in the new system. > System.

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Annotation: The above characterizations of concepts are neither definitions nor exhausting presentations of problems related to them. Instead, they are intended to give a short introduction to the contributions below. – Lexicon of Arguments.
 
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I 15 ff
Axiome/Euklid/Waismann: Unter den Axiomen Euklids lassen sich zwei Gruppen unterscheiden:
A. Allgemeine Größenaxiome Bsp "Zwei Größen, die einer Dritten gleich sind, sind auch untereinander gleich. Der Teil ist kleiner als das Ganze, Gleiches zu Gleichem hinzugefügt, ergibt Gleiches"
B. Die eigentlichen geometrischen Axiome
1. Jeder Punkt kann mit jedem Punkt durch eine Gerade verbunden werden.
2. Jede Gerade lässt sich über jeden ihrer Endpunkte hinaus verlängern.
3. Um jeden Punkt lässt sich mit jedem beliebigen Radius ein Kreis ziehen.
4. Alle rechten Winkel sind einander gleich.
5. Wenn zwei Gerade von einer dritten so geschnitten werden, dass die Winkel auf der Innenseite der beiden Geraden zu einer Seite der dritten eine Summe ergeben, die kleiner ist als zwei Rechte, dann schneiden sich die beiden Geraden, genügend verlängert, auf der erwähnten Seite. ("Parallelenaxiom")
I 16
Parallelenaxiom/Euklid: in der Geschichte war das Parallelenaxiom (5. Axiom Euklids) immer umstritten, man versuchte wegen der Komplexität immer Widersprüche herzuleiten, ohne Erfolg. Im Gegenteil konnte bewiesen werden, dass
Bsp ähnliche Figuren unmöglich wären, wenn es nicht zuträfe, oder
Bsp es in der Ebene dann ein größtes Dreieck geben müsste.
Bsp Lambert: Ohne das Parallelenaxiom gäbe es eine von der Natur ausgezeichnete Längeneinheit. So absurd alle diese Resultate klingen, einen logischen Widerspruch (diesmal zugunsten des Axioms) bedeuten sie nicht.
Bolanyi und Lobatschefsky entwickelten dann konsequent Folgerungen aus dem Weglassen des 5. Axioms und stießen nicht auf Widersprüche, sondern auf eine neue Geometrie! Nichteuklidische Geometrie.
Neues Problem: woher wissen wir, dass Annahmen nicht in Zukunft zu Widersprüchen führen? Zum ersten Mal trat das Problem der Widerspruchsfreiheit in der Mathematik auf. Ein direkter Nachweis der Widerspruchsfreiheit kommt offenbar nicht in Betracht, dafür müssten unendliche Schlussketten in Betracht gezogen werden.
Nichteuklidische Geometrie: Felix Klein fand 1870, dass sich das ganze System der nichteuklidischen Geometrie auf die euklidische abbilden lässt, so dass jeder Widerspruch im neuen System einen Widerspruch im alten nach sich zöge.
Jedem Begriff der nichteuklidischen Geometrie wird nach einer Vorschrift ein Begriff der euklidischen Geometrie zugeordnet als sein Abbild, ebenso jedem Satz der einen Theorie einem Satz der anderen,
I 17
so dass beide Theorien dieselbe logische Form haben.
Man hat innerhalb der euklidischen Geometrie ein >"Modell" für die nichteuklidische hergestellt.
Bsp Wir denken uns in der euklidischen Ebene eine festen Kreis k . Wir stellen nun ein Lexikon auf:
Unter einem Punkt verstehen wir einen Punkt im Inneren von k
Unter einer Geraden verstehen wir das Stück einer Geraden, das innerhalb von k verläuft.
Zusätzliche Bestimmungen regeln, dass man eine beliebige Strecke auf einer Geraden unendlich oft hintereinander abtragen kann, ohne den Kreis zu verlassen. Diese Strecke wird, nach euklidischem Maßstab gemessen, natürlich immer kleiner: Ein Wesen, das sich vom Mittelpunkt des Kreise zur Peripherie bewegt, wird immer kleiner und kann den Kreisrand nie erreichen (aber nicht zenonsch).
Beweis: Diese anschauliche Überlegung hat aber mit der Beweiskraft nichts zu tun!
Für eine so definierte Geometrie treffen alle euklidischen Axiome außer dem 5. zu.
Abb. I 17 Kreis, mit Strahlen von einem Punkt im Innern des Kreises nach außen, irgendwo Sekante. Die Strahlen zerfallen in zwei Klassen, die die Sekante schneiden, und die, die das nicht tun. Diese zwei Klassen werden getrennt durch zwei Geraden (auch Strahlen), die wir "Parallele" nennen, weil sie die Sekante (mit der sie auf den ersten Blick ein Dreieck bilden) nichteuklidisch erst im Unendlichen schneiden.
Sämtliche Sätze der euklidischen Geometrie mit Ausnahme des 5. Axioms sind im Kreis widerspruchsfrei.
I 18
Das ist aber kein absoluter Widerspruchsfreiheitsbeweis.
Steckte in der euklidischen Geometrie ein Widerspruch, so müsste dieser auch schon in der Lehre von den reellen Zahlen anzutreffen sein.


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Explanation of symbols: Roman numerals indicate the source, arabic numerals indicate the page number. The corresponding books are indicated on the right hand side. ((s)…): Comment by the sender of the contribution.

Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976


> Counter arguments against Waismann
> Counter arguments in relation to Axioms



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Ed. Martin Schulz, access date 2017-06-25