Philosophy Lexicon of Arguments

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Order, philosophy: order is the division of a subject area by distinctions or the highlighting of certain differences as opposed to other differences. The resulting order can be one-dimensional or multi-dimensional, i.e. linear or spatial. Examples are family trees, lexicons, lists, alphabets. It may be that only an order makes certain characteristics visible, e.g. contour lines. Ordering spaces may be more than three-dimensional, e.g. in the attribution of temperatures to color-determined objects. See also conceptual space, hierarchies, distinctness, indistinguishability, stratification, identification, individuation, specification.
 
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Thiel I 201
Ordnung/Mathematik/Thiel:
Def Wohlgeordnet: ist eine geordnete Menge Mp derart, dass nicht nur sie selbst, sondern auch jede ihrer nichtleeren Teilmengen ein solches, im Sinne der Ordnung erstes Element besitzt, so nennen wir M< eine wohlgeordnete Menge.
I 201/202
Wohlgeordnete Mengen sind spezielle geordnete, daher stellt jeder Paarterm für eine wohlgeordnete Menge auch einen Ordnungstypus dar und von den Ordnungstypen lässt sich nun zeigen, dass sie miteinander vergleichbar sind. In diesem Sinne sind also die Ordnungstypen wohlgeordneter Mengen "zahlenähnlicher" als andere Ordnungstypen. Wir bezeichnen sie als
Def Ordnungszahlen, Ordinalzahlen. Der Ordnungstypus einer endlichen Menge (die ja bei jeder Anordnung wohlgeordnet ist) fällt mit ihrer Ordnungszahl und darüber hinaus noch mit ihrer Mächtigkeit zusammen.
I 201f
Def wohlgeordnet/Wohlordnung: ist eine Menge, wenn jede nichtleere Teilmenge ein erste Element besitzt - d.h. dass jeder Paarterm ist auch ein Ordnungstypus - dann sind alle Ordnungstypen vergleichbar.
Addition, Multiplikation Potenzierung speziell: Bsp {1, 1,2, 2..} soll auf die natürlich geordnete Menge der Grundzahlen abgebildet werden...I 202 Bsp {1,3,5..;2,4,6...} nichtkommutativ.
Terminologie: Ordnungszahl ω.
Bei den Ordnungszahlen können wir also in einem ganz bestimmten Sinn über die Ordnungszahl ω der natürlich geordneten Menge der Grundzahlen hinaus:
Die Elemente einer Menge von der Mächtigkeit Ao der Grundzahlen können noch auf verschiedenste Weise geordnet werden und so zu ganz verschiedenen transfiniten Ordnungszahlen führen
I 203
und ganz verschiedene Wohlordnungen dieser Mengen führen auch zu im angegebenen Sinn "größeren" Ordnungszahlen als .
Man sollte daraus aber keine voreiligen Schlüsse über ein tieferes Eindringen in das Reich des Unendlichen ziehen, denn eine geordnete Menge mit der Ordnungszahl ω exp ω hat nicht etwa die Mächtigkeit Ao exp Ao (was nach klassischer Auffassung die Mächtigkeit des Kontinuums wäre), sondern ist immer noch abzählbar, also von der gleichen Mächtigkeit Ao wie eine geordnete Menge mit der Ordnungszahl ω.
Ohne die bis heute nirgends begründete Voraussetzung, dass sich jede Menge wohlordnen lasse, kommt man nicht zu höheren Mächtigkeiten.
I 203
ω exp ω ist immer noch abzählbar. Dagegen: Mächtigkeit des Kontinuums: Ao exp Ao
KonstruktivismusVsCantor: Einwand gegen die Einführung absoluter transfiniter Zahlen: ergibt sich aus der Definition von Gleichmächtigkeit und Ähnlichkeit. Sie erfolgen unter Rekurs auf Abbildung.
Jede Abbildung muss nach konstruktivistischer Auffassung als Funktion durch einen Funktionsterm dargestellt werden.
Die muss sich jedoch auf ein fest vorgegebenes Inventar an zugelassenen mathematischen Ausdrucksmittel berufen. Eine Abbildung ist dann ausdrückbar oder nicht.
Bsp Die Gleichmächtigkeit zweier Mengen kann in einem formalen System F1 ausdrückbar sein (also "bestehen") in einem anderen F2 dagegen nicht.
Für einen Platonisten natürlich eine ganz unhaltbare Situation. Er wird sagen, dass das System F2 einfach zu "ausdrucksschwach" sei.
Das System müsste erweitert werden. Das ist aber nach den Konstruktivisten nicht möglich: Verboten, weil die zu ihrer Darstellung nötigen Ausdrucksmittel (oder mengentheoretischen Axiome, welche die "Existenz" der fraglichen Abbildung erst sicher würden), mit den übrigen Ausdrucksmitteln oder Axiomen zu einem Widerspruch führen würde.
Es ist keine Möglichkeit bekannt, auf unbedenkliche Weise transfinite Kardinalzahlen (und in axiomatischen Systemen auch transfinite Ordnungszahlen) als absolute Marksteine im Unendlichen einzuführen.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995




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Ed. Martin Schulz, access date 2017-05-26