Philosophy Lexicon of Arguments

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Limits, philosophy: here we are concerned with the classification of knowledge domains or the identification of possibilities for thought. We need to determine what belongs to a domain and what does not. Problems arise wherever something is to be described beyond an area by the means of this area itself ('impracticability', 'unthinkability','inconceivability'), as well as where an area is solely covered by means originating from this area itself ( Circularity).

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Annotation: The above characterizations of concepts are neither definitions nor exhausting presentations of problems related to them. Instead, they are intended to give a short introduction to the contributions below. – Lexicon of Arguments.

 
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Thiel I 188/189
Grenze/Tradition/Thiel: Alt: bei Aristoteles hat die Grenze stets eine um 1 kleiner Dimension als der Gegenstand selbst. Ein Punkt kann dann keine Grenze mehr haben! Daraus folgt, dass die Punkte einander nicht berühren, und infolgedessen kein Kontinuum bilden können!
Für Aristoteles kann eine Gerade daher nicht aus Punkten bestehen. Sie ist keine Punktmenge im Sinn der voraristotelischen oder nachcantorschen Mathematik. Eine Gerade oder Strecke ist insofern ein Kontinuum, als sie beliebig oft teilbar ist, wobei aber die Teile und damit auch ihre Grenzen, die Punkte immer nur potentiell, "in" einem solchen Kontinuum vorhanden sind.
Nur die beiden Endpunkte einer Strecke gehören ihr als "aktuelle" wirkliche Punkte an, alle übrigen nur "potentiell".
I 190
Neu: Topologie: ein Punkt p einer Menge M heißt ein
Def Häufungspunkt von M, wenn in jeder Umgebung von p ein weiterer Punkt der Menge M liegt, und man bezeichnet die Menge M als
Def abgeschlossen, wenn alle ihre Häufungspunkte in M selbst enthalten sind. Eine Menge M heißt
Def zusammenhängend, wenn sie sich auf keine Weise in zwei Teile A und B so zerlegen lässt, dass diese zusammen M ergeben, aber keinen Punkt gemeinsam haben, und dabei keine einen Häufungspunkt der jeweils anderen enthält.
Def Kontinuum: eine Menge die zugleich abgeschlossen und zusammenhängend ist, wird Kontinuum genannt.
Def dicht: zu je zwei Punkten gibt es einen weiteren Punkt, der dazwischen liegt.
I 191
Häufungspunkt: Wir kehren zum Intervall 0,1,zurück.... rechts von d kann kein Punkt von L mehr liegen.
Dann können wir, da nach Definition des Häufungspunktes in jeder Umgebung von d ein Punkt von R liegt, eine so kleine Umgebung U wählen, dass ((s) ein bestimmter, gewählter Punkt) e nicht mehr in U liegt.
Dennoch muss es in U einen Punkt p aus R geben und damit p < e gelten.
Dies widerspricht aber der vorausgesetzten Eigenschaft der Zerlegung, dass jeder Punkt von L links von jedem Punkt von R liege und als ob e < p gelten muss.
Das zeigt, dass dieser in L gelegene Häufungspunkt von R eindeutig bestimmt ist, weil von zwei verschiedenen Punkten mit dieser Eigenschaft einer rechts vom anderen liegen müsste, und da beide in L liegen sollen, der gleiche Widerspruch wie eben zwischen d und e entstünde.
Der Punkt d ist also der "größte" d.h. der äußerste rechte Punkt von L. > Reelle Zahlen.



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Explanation of symbols: Roman numerals indicate the source, arabic numerals indicate the page number. The corresponding books are indicated on the right hand side. ((s)…): Comment by the sender of the contribution.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995


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Ed. Martin Schulz, access date 2017-12-18