Philosophy Lexicon of Arguments

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Formalism: the thesis that statements acquire their meaning only from the rules for substituting, inserting, eliminating, forming, equality and inequality of symbols within a calculus or system. See also calculus, meaning, rules, content, correctness, systems, truth.

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Annotation: The above characterizations of concepts are neither definitions nor exhausting presentations of problems related to them. Instead, they are intended to give a short introduction to the contributions below. – Lexicon of Arguments.

 
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Thiel I 20
Formalismus/Thiel: Vollzieht sozusagen die "linguistische Wende" in der Mathematik. Es wird jetzt gefragt, was der Gegenstand der Arbeit des Mathematikers sei. Regeln für Handlungen. Symbole werden durch andere ersetzt. Dabei fragt der Formalist nicht nach der "Bedeutung". Mathematik: Lehre von den Formalismen oder formalen Systemen (>Bernays).
Neben dieser "kalkültheoretischen Variante" des Formalismus gibt es die "strukturtheoretische" Variante. (>Hilbert). Verschiedene formale System können als von genau demselben mathematischen Objektbereichen gültig gedeutet werden. Wir können dies deren "Beschreibung" durch die formalen Systeme nennen.
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Thiel I 279
Formalismus/Geometrie/Hilbert/Thiel: Hilbert hatte 1899 in seinen Grundlagen der Geometrie Termini wie Punkt, Gerade, Ebene, "zwischen" usw. verwendet, aber deren Sinn auf bis dahin ungewohnte Weise verstanden. Sie sollte nämlich nicht nur die Herleitung der üblichen Sätze ermöglichen, sondern in ihrer Gesamtheit überhaupt erst die Bedeutung der in ihnen verwendeten Termini festlegen.
I 280
Später nannte man dies "Definition durch Postulate", "implizite Definition" >Definition.
Die Benennungen Punkt, Gerade usw. sollten allenfalls eine bequeme Hilfe für die mathematische Anschauung sein.
FregeVsHilbert: stellt im Briefwechsel klar, dass dessen Axiome nicht Aussagen sondern Aussageformen seine. >Aussageform.
Er bestritt, dass durch deren Zusammenwirken den in ihnen auftretenden Begriffen eine Bedeutung verliehen werde. Definiert werde vielmehr ein (in Freges Terminologie) "Begriff zweiter Stufe", heute würde man auch sagen eine "Struktur".
HilbertVsFrege: die Pointe des Hilbertschen Vorgehens ist gerade, dass die Bedeutung von "Punkt", "Gerade" usw offengelassen wird.
Frege und Hilbert hätten sich darauf durchaus einigen können, taten es aber nicht.
Axiome/Frege/Thiel: ein Axiom sollte eine im klassischen Sinne einfache, im Sinn völlig klare Aussage am Anfang eines Systems sein.
Axiome/Hilbert: Aussageformen, die zusammengefasst eine Disziplin definieren. Daraus hat sich die "schlampige" Redeweise entwickelt Bsp "Gerade" in der Kugelgeometrie sei eben ein Großkreis.
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Thiel I 342
Intuitionismus und Formalismus werden oft als Alternativen zum Logizismus dargestellt. Die drei differieren so stark, dass ein Vergleich sogar Mühe bereitet.
I 343
Formalismus/Thiel: 1. "älterer" Formalismus: zweite Hälfte 19, Jahrhundert Schöpfer Hankel, Heine, Thomae, Stolz. "formale Arithmetik,", "formale Algebra". "Gegenstand der Arithmetik seien die Zeichen auf dem Papier selbst, so dass die Existenz dieser Zahlen nicht in Frage steht" (naiv).
Def "Permanenzprinzip": es war üblich geworden, für hinzukommende Zahlen neue Zeichen einzuführen und dann zu postulieren, dass die von den Zahlen des Ausgangsbereichs geltenden Regeln auch für den erweiterten Bereich gültig sein sollten.
Vs: das müsste solange als illegitim gelten, als die Widerspruchsfreiheit nicht gezeigt sei. Sonst könnte man eine neue Zahl einführen, und
Bsp § + 1 = 2 und § + 2 = 1 einfach postulieren. Dieser Widerspruch würde zeigen dass es die "neuen Zahlen" in Wahrheit gar nicht gibt. Das erklärt die Formulierung von Heine, dass die "Existenz gar nicht in Frage steht".

I 343/'344
Etwas differenzierter behandelte Thomae das Problem als "Spielregeln".
FregeVsThomae: dieser habe nicht einmal die Grundbestimmungen seines Spiels, nämlich die Entsprechungen zu den Regeln, Figuren, und Stellungen präzise angegeben.
Diese Kritik Freges war schon ein Vorläufer der Hilbertschen Beweistheorie, in der ja ebenfalls bloße Zeichenreihen unter Absehung von ihren etwaigen Inhalt auf ihre Erzeugung und Umformung nach gegebenen Regeln betrachtet werden.
I 345
HilbertVsVs: Kritiker Hilberts übersehen oft, dass zumindest für Hilbert selbst, der "finite Kern" durchaus inhaltlich gedeutet bleiben sollte und nur die "idealen" nicht finit deutbaren Teile keinen unmittelbar aufweisbaren Inhalt haben. Diese Pointe ist methodischer, nicht philosophischer Art. Für Hilberts Programm ist auch "Formalismus" der am häufigsten gebrauchte Ausdruck.
Darüber hinaus geht die Auffassung des Formalismus in einem dritten Sinn: nämlich die Auffassung der Mathematik und Logik als ein System von Handlungsschemata für den Umgang mit von jedem Inhalt freien Figuren.
HilbertVsFrege und Dedekind: die Gegenstände der Zahlentheorie sind die Zeichen selber. Motto: "Am Anfang war das Zeichen."
I 346
Die Bezeichnung Formalismus stammte nicht von Hilbert oder seiner Schule. Brouwer hatte die Gegensätze zwischen seinem Intuitionismus und dem Formalismus der Hilbertschule zu einer Grundsatzentscheidung hochstilisiert.
Brouwer: seine Revision des klassischen Mengen und Funktionsbegriffs bringt eine andere "Species Mathematik".
An Stelle der Funktion als Zuordnung von Funktionswerten zu Argumenten der Funktion treten Folgen von Wahlhandlungen eines fiktiven "idealen Mathematikers" der an jeder Stelle des unbegrenzt gedachten Prozesses eine natürliche Zahl wählt, wobei diese Zahl durch die verschiedensten Bestimmungen für die Wahlakte eingeschränkt sein darf, obwohl im einzelnen Fall der Wahlakt nicht voraussagbar ist.


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Explanation of symbols: Roman numerals indicate the source, arabic numerals indicate the page number. The corresponding books are indicated on the right hand side. ((s)…): Comment by the sender of the contribution.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995


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Ed. Martin Schulz, access date 2017-11-21